القانون الأسي يظهر حتى عندما نستخدم عناوين بأرصدة محفظة مختلفة. هذا هو توقيع آخر لعدم التغيير بتمدد النطاق. تم إنشاء ثلاث طبقات عناوين:

• الروبيان = عناوين الرصيد غير الصفري الإجمالي (مجموعة البيانات الكاملة)
• السرطانات = عناوين تحتفظ بـ ≥1 BTC = (1–10 BTC) + (10–100 BTC)
• الدلافين = عناوين تحتفظ بـ ≥10 BTC = (10–100 BTC) فقط

________________________________________

اللوحة 1 — N(t) مقابل الوقت، log-log

يتم رسم كل طبقة كـ log₁₀(العناوين) مقابل log₁₀(t_days). يعطي الانحدار الخطي OLS على هذه القيم المحولة بشكل لوغاريتمي الأس الأسي n لكل طبقة — ميل خط الملاءمة الأفضل. الخطوط المتقطعة هي تلك الملاءمات. يتم تحويل علامات المحور السيني مرة أخرى إلى السنوات الميلادية لسهولة القراءة.

اللوحة 2 — متروك العام المعمم، log-log

السعر مقابل العناوين لكل طبقة، كلاهما محول بشكل لوغاريتمي. يعطي الانحدار الخطي OLS أس Metcalfe α — مدى حدة تغير السعر مع عدد العناوين في تلك الطبقة. نظراً لأن الحائزين على أرصدة أكبر أندر وأصعب إضافة، α الخاص بهم أكثر انحداراً.

اللوحة 3 — نموذج السعر المدمج، log-log

النتيجة الرئيسية. لأن P ∝ N^α و N ∝ t^n، الاستبدال يعطي P ∝ t^(n·α). لذلك كل طبقة تنتج توقعاً مستقلاً للسعر مقابل الوقت باستخدام بيانات العنوان الخاصة بها فقط — لا توجد ملاءمة سعر مباشرة. الجزء المقطوع هو ic_combined = ic_Metcalfe + α × ic_time. يتم رسم جميع الخطوط الثلاثة مقابل السعر الفعلي (الخط الأبيض) على محاور log-log.

| الطبقة | n (الوقت) | α (Metcalfe) | n × α |
|-------|----------|-----------|-------|
| الروبيان | 3.060 | 1.831 | 5.604 |
| السرطانات (≥1 BTC) | 1.383 | 4.021 | 5.564 |
| الدلافين (≥10 BTC) | 0.462 | 11.080 | 5.116 |

التقارب يظهر لأن n و α يتاجران ببعضهما البعض عبر الطبقات. عندما تستخدم طبقة يصعب الوصول إليها (الحائزون على أرصدة أكبر)، ينخفض n (تلك العناوين تنمو بشكل أبطأ) لكن α يرتفع (السعر أكثر حساسية لكل حوت إضافي). يبقى الناتج n·α ثابتاً تقريباً عند ~5.5–5.6 عبر جميع الطبقات الثلاث — وهو أيضاً أس القانون الأسي العام للبيتكوين من الملاءمة المباشرة للسعر. هذا هو نظرية Metcalfe المعممة: أس السعر ثابت بغض النظر عن طبقة العنوان التي تستخدمها كمقياس تبني.